数学可以被想象成很多事物：一门语言、一种工具、一个游戏。当你努力做家庭作业或者准备考试的时候，它可能不那么像是一个游戏。但是对于我来说，做研究最令人兴奋的一个阶段就是开始一个新的项目的时候。因为在这个阶段，你可以针对不同的观点进行有趣的尝试。这有点儿像在厨房里尝试不同的调味品。这比之后你努力记下发明出来的配方以免第二次做出来的味道不一样要有趣得多。当然，这比努力记下配方以免别人无法复制出来更加有趣。

所以作为开端，我会介绍一些关于无穷的有趣的观点，借此我们可以活跃一下我们的头脑，探索一下哪些关于无穷的观点可能是正确的，而这些观点的推论又是什么。数学的基础是通过逻辑理解事物。我们会发现，当我们对于“无穷”的理解不精确的时候，逻辑会把我们带到我们不曾设想的奇怪地点。数学家们往往会尝试从不同的视角来感受什么可能是正确的或者错误的。当乐高最初被设计出来之前，设计者一定尝试过很多不同的模型，而后才定稿完成最终的美妙设计。

一个数学家的“玩具”应该像乐高一样，足够强大，能够用来搭建事物，同时足够灵活，能够用来尝试不同的可能性。如果我们关于无穷的模型让一些基础概念出现了矛盾，那么我们就必须回过头去重新审视我们的模型。在最初的游戏之后，我们可能会多次回到我们的模型面前，因为我们会发现我们对无穷的思考可能引发了各种各样的问题。当我们最终得到了一个牢固的逻辑的时候，我们所完成的模型可能会和最初的想象完全不同。这同样会带来一些我们之前不曾预期的结果。比如，一个奇怪的事实就是，无穷可能有很多不同的“尺寸”。换言之，一些事物会比另外一些事物“更加无穷”。这正是所有旅程的美妙之处——发现一些不曾预期的事物。

在之前的章节中，我列出了一些关于无穷的基本观点，比如：

无穷会永远持续下去。

这是不是意味着无穷是一种时间、空间，或者长度呢？

无穷比最大的数字还要大。

无穷比我们能想到的任何巨大的事物都更大。

现在，无穷又有点儿像一种尺寸了。或者，它也许是一种更加抽象的事物——一个数字，我们可以用这个数字来测量时间、空间、长度、尺寸，甚至任何我们想要测量的事物。接下来，我们会将无穷当作一种数字做进一步的研究。

无穷加一，它还是无穷。

换言之，

∞ + 1 = ∞

这看起来更像是关于无穷的基本原则。如果无穷是最大的事物的话，加上一并不会让它变得更大——真的是如此吗？如果我们在等式两边都减去无穷呢？如果我们用大家熟悉的消除法，在等式两边都消除无穷，那么等式就变成了：

1 = 0

这简直是一个灾难。一定有什么地方出错了。而下面的说法会导致更多的错误结果。

无穷加无穷，它还是无穷。

这看起来好像是说，

∞ + ∞ = ∞

也就是说，

2∞ = ∞

现在，如果我们将两边都除以无穷的话，那么等式就变成了：

2 = 1

这成了另外一个灾难。现在，你几乎能猜到我们在思考最后一个观点的时候会发生什么。

无穷乘以无穷，它依旧是无穷。

如果我们把这句话写成一个等式的话，就是：

∞ × ∞ = ∞

如果我们在等式两边都除以无穷的话，就相当于在等式两边各去掉一个无穷。等式就变成了：

∞ = 1

这可能是所有结果中错得最离谱的一个。无穷代表着最大的事物，肯定不会是 1 这么小。

到底是什么地方错了呢？问题就在于，我们像处理一个寻常的数字那样处理无穷，而我们并不知道是不是能这样处理它。我们在这本书中将会首先学到的事情之一就是无穷不是什么。我们会发现无穷肯定不是一个寻常的数字，继而渐渐了解无穷可以是什么。这个旅程花费了数学家几千年的时间，其中牵涉数学领域的很多重大的发展，集合论和微积分就是其中很好的例证。

上面的故事的关键在于，虽然无穷的概念很好建立，但是我们必须非常小心地处理它，否则就会发生相当奇怪的后果。而这些都仅仅是开胃小菜。我们接下来会看见各种各样的伴随无穷发生的奇怪的事物，比如事物的无穷集合、有无穷个房间的旅馆、无穷双袜子、无穷条路径、无穷多的点心。其中一些奇怪的发现就像“1 = 0”一样，不仅仅奇怪，而且让人不满意。所以我们需要自己构建数学模型来避免这些情况。但是，也有其他一些奇怪的事物并不违背逻辑，它们仅仅是违背常理。这些奇怪的事物并不会给我们的逻辑带来问题，却会挑战我们的想象力和思维方式，就好像科幻小说作家所塑造的那些拥有无穷生命、永生不老的人，或者拥有无穷的速度，能够瞬间移动的人一样。

拥有无穷多房间的旅馆

当我们开始教孩子们数字的时候，我们总会给他们一些实物帮助他们思考，或者我们会在他们吃一些可计数的食物时，教他们怎么计数，又或者，我们会教他们数自己吃了几勺子食物。

如果我们想要一勺一勺地数，一直数到无穷的话，那得花费非常多的时间。事实上，我们下面要介绍的几个例子确实有一点儿从一一直数到无穷的意味在里面。但是在做这些事情之前，我们还是先看一个已经是无穷的例子——一个拥有无穷多房间的旅馆。 想象一下，一个旅馆里面有无穷多个房间，房间的编号是1、2、 3、4……直到无穷（见图 2–1）。

现在假设你是这个旅馆的经理。你面对的情况是每个房间都住了客人，而你正沉醉在你所赚到的钱里面。这个时候，另外一个客人走了进来，要求开一个房间。一方面，旅馆已经住满了。另一方面，如果你能让每一个客人都往后挪一个房间的话……

这个有无穷多个房间的旅馆被称作希尔伯特旅馆。德国著名数学家戴维·希尔伯特使用这个栩栩如生的例子来描绘你开始思考无穷时可能遇到的问题。一个正常的旅馆只会有有限的房间，住满了就是住满了。面对下一个客人，你根本就没办法安排，除非搭一个临时建筑。然而，在一个拥有无穷多个房间的旅馆中，你可以让 1 号房间的客人搬到2 号房间，让2 号房间的客人搬到3 号房间，让3 号房间的客人搬到4 号房间，以此类推，我们总是能让n 号房间的客人搬到 n + 1 号房间。因为我们有无穷多个房间，每一个n 都有一个对应的 n + 1，所以每一个客人都有一个对应的新房间。这么做的话，1 号房间就空出来了，新的客人就可以入住了（见图 2–2）。

这看起来是一个悖论，但是论证过程并没有漏洞。唯一的问题就是这个结论与人们的直觉不相符。我们怎么能在已经完全住满的旅馆里再安排下一个客人呢？这和我们的直觉相悖的唯一原因就是我们太习惯于有限的旅馆了。当我们严肃地思考无穷，而不是模糊地想象无穷的时候，我们必须准备接受一些可能会显得有点儿奇怪的事物，甚至是看起来非常奇怪的事物。这也正是无穷的美妙之处。

我们想要做的是把“无穷”这个概念融入普通的数学中，而不改变其余的逻辑。就像科幻小说中永生不老的往往只有一个人，其他所有人都是有生老病死的普通人一样。一些奇怪的事情可能会发生，但是我们并不想因此而毁掉关于这个世界的一些基本事实。言下之意就 是，我们并不希望因为将无穷和数学交织起来研究而发生“1 = 0”这样的事情。但是也许仍会有一些奇怪的新事物出现，就像这个拥有无穷多房间的旅馆一样。

希尔伯特旅馆并不会挑战现有的数学逻辑，它挑战的仅仅是我们关于旅馆的直觉。这个例子开拓了我们的眼界，让我们意识到，在无穷的情况下可能会发生的奇怪逸事。

如果来了更多的客人呢？

如果来了第二位客人呢？很简单，我们可以让每个客人都多往后挪一个房间。现在，原来住在1 号房间的客人搬到了3 号房间，原 来住在2 号房间的客人搬到了4 号房间，原来住在n 号房间的客人 搬到了n + 2 号房间。这就是数学的世界，我们不需要考虑搬房间所带来的麻烦，我们只要开开心心地知道每个客人都有房间住就好了。

如果这两位客人同时到达，我们可以从一开始就让所有的客人都往后挪两个房间。当然，如果是三位客人同时到达的话，我们可以让每个人都往后挪三个房间。以此类推，只要是有限数量的客人同时到 达，我们都可以用这种办法安排（见图 2–3）。

如果有无穷多的客人同时到达怎么办？我们不能让每个客人都往后挪无穷个房间。虽然这个方案听起来好像有点儿道理，因为我们有无穷多个房间。但是让我们考虑一下某位特定客人的具体情况，比如1 号房间的客人。这位客人要搬到哪个房间去呢？“1 + ∞”号房间？这肯定不行，因为这就不是一个房间号。我们确实有无穷多 个房间，但是每个房间还是有一个有限的房间号的。所以并不存在 “1 + ∞”号房间，让1 号房间的客人搬到“1 + ∞”号房间就等于这位客人还是没有地方可以去。如果我们不能告诉客人们他们应该搬到哪个房间去的话，那么我们就卡住了。

所以我们不得不表现得更加聪明一点儿。（处理数学问题经常需要我们更加聪明，这也是数学看起来很难的一个原因。）我们可以让每个客人都去房间号是原来房间号两倍的房间。这样，1 号房间的客人就去了2 号房间，2 号房间的客人就去了4 号房间，n 号房间的客人就去了2n 号房间。（见图2–4）这样就空出来无穷多个房间。我们怎么会知道这样能行呢？我们知道本来已经入住的客人都已经搬到双倍房间号的房间了，所以他们现在全都住在偶数号的房间里。换言之，所有奇数号的房间都已经空出来了，而这样的房间有无穷多个。